关于流体仿真的两个问题

数值计算
#1

在学习太极图形课S1第10讲：流体仿真01，但是，我有两个问题没有想明白。

  1. 在P2 时间积分：积分算子分解中讲到，可以假设物体是弱可压缩的，于是在Projection/pressure solver的时候，就不需要求解方程组了，可以直接使用 dv=-\frac {1}{\rho}\nabla(k(\rho-\rho_0)) 。我的问题是，这里的 \rho 怎么来的？视频中说直接看作已知量。

  2. 太极图形课S1第10讲中，花费了极大的篇幅介绍SPH技术，我不太清楚为什么需要这项技术？在P4 实现细节: WCSPH中，介绍了利用SPH技术来计算 \rho ，但是之前不是假设 \rho 是已知的吗？为什么这里又需要计算？

#2

通过跟别人的讨论，这里我弄明白了第一个问题：

\rho 是宏观状态下，物体的密度，而不是粒子的密度。粒子在不停的运动，所以这个密度会发生改变。但是，粒子运动后，要统计密度，这个时候就需要用 SPH 技术来统计密度。

#3

我又有另一个问题了：

  1. 在拉格朗日视角下，本来说splitting operation，有一步是： \rho \frac {Dv}{Dt} 。但是，到了后面求解的时候，直接变成了 dv/dt 。那么速度对空间的导数去哪里了？
#4

网上的一份资料中给出了一种理解：对于拉格朗日视角，粒子的流速是： v(x_0, y_0, z_0, t) ，这里的 (x_0, y_0, z_0) 实际上表示的是不同的粒子。

于是，全微分可以写成： Dv/Dt = dv/dt + dv/dx_0 \cdot dx_0/dt + dv/dy_0 \cdot dy_0/dt + dv/dz_0 \cdot dz_0/dt 。而这里的 (x_0, y_0, z_0) 都与时间无关，于是： $dx_0/dt = dy_0/dt = dz_0/dt = 0$，于是全微分就是： Dv/Dt = dv/dt + dv/dx_0 \cdot 0 + dv/dy_0 \cdot 0 + dv/dz_0 \cdot 0 = dv/dt ，于是全微分退化成了速度对时间的导数。注意： 这里只是 dx_0/dt = dy_0/dt = dz_0/dt = 0 , dv/dx_0 并不等于0，并不影响后面的 \nabla^2v 。