我来说一下自己的理解！抛砖引玉了：
非对称形式：是按照SPH计算梯度的基础公式进行泰勒展开到一阶精度项（下图展开到了二阶精度。注意公式中的红色的那一项），移项后合并同类项产生的。这样可以保证在计算粒子携带的一些自身的属性，如密度的梯度时降低误差。
至少，它可以确保像 f=x+y 这种梯度是常数时的结果在非边界的位置是准确的1，如下图。
对称形式：我们都知道两个粒子相互作用时，会产生相同的反力。上面的非对称形式无法在SPH的近似中确保这一点，所以需要这个对称形式的近似形式。它似乎是从动能守恒推导出来的？所以，像应力这种粒子间存在相互作用的属性，就用对称形式好一些。
或许可以做一个简单的总结：对称形式和非对称形式都是为了改善原始的SPH梯度近似公式的精度产生的，不过适用的对象有所不同。当你不区分两种形式，通篇全用一种形式，跑起来应该会出现错误的结果，可以试一试。
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感谢大佬
希望讲清楚了。