在太极图形课S1第07讲P3中16:00位置，讲到在圆面上均匀采样再转换，可以得到下图中右侧的分布 (和cos(theta)成正比)。
我对这一结果感到有些奇怪：假设从theta对应的弧长设为x（标注的红线），那么 x = r * 2 * theta，因此我似乎应当认为所述采样方式的结果应该是 theta 的某种更线性的函数关系（似乎是 theta 上均匀分布，但至少不是 cos(theta) 相关的）。
另一方面，如果考虑是三维球面，由于变换是 r^2 * sin(theta)，似乎线性相关的形式也是以 sin(theta) 为变量， 而不是 cos(theta)。
不知我的想法是哪里出现了问题？
谢谢！
刚好我也对这个公式感兴趣，就推了一下：
首先上面的圆心角等于圆周角的两倍：
然后我们求α所对的微小圆环面积：
其中dcosθ是负的，所以单位cosθ所对的面积与cosθ成正比（把cosθ换成x更容易看出）。
谢谢你的帮助，这个推导是正确的，根据这一推导我理解了之前统计结果呈现直线这一结论！
不过，我有一点还是略微困惑：
这里的结果，相当于（公式忽略常数）使得概率密度函数为 p(cos(\theta))= cos(\theta) 。另一方面，我理解这里应该是需要使得 p(\theta)= cos(\theta) ，来满足例如 Lambertian 反射模型的需要。
这两者似乎相互冲突，不知我的理解问题出在哪里？
谢谢！
你可以写成 p=cos(θ)，是 p(θ) 还是 p(x) 只是符号上不同。我倒没注意到这个跟 Lambertian 反射模型的关系，感觉课上可以补充一下。
嗯嗯，Lambertian 反射模型就是按角度等概率采样，然后乘上 cos(\theta) 作为强度。如果没有理解错的话，这里就是把强度换成概率。你推导里的变量代换是没问题的，只是这结果我个人感觉不是和原模型一致的（不过因为课上说这是书上的公式，大概率是我哪里想错了……）。
如果有老师看到这里，后面课上也再请老师补充补充！
谢谢！
因答疑课上语音或许不好表达清楚，这里补充一下推导过程（附图可参考上面Vineyo推导），请老师指正！
Hi Tiger，
你的推导完全没有问题：）但是你的假设有问题。
对于Importance sampling for the Lambertian model：我们无法认为概率密度函数p(\theta)=cos(\theta)。
就像你无法认为均匀采样的概率密度是p(theta)=1/pi一样。这是在球面上采样极坐标-笛卡尔坐标变换的结果。
事实上，需要在半球面上做到均匀采样，关于theta的概率密度应该为为p(theta) = sin(theta)，这个在课件上也有简易的推导。所以在球面上对cos(theta)做重要性采样时，关于theta的概率密度应该为p(theta)=sin(theta)cos(theta)=1/2sin(2 theta)，这也和你之后的推导吻合。
这也是为什么我们可以在角度为2theta球面上采样再投影回半球面的直观理由。抱歉这一段因为时间问题在课上没有仔细推导。
Best，
Tiantian
原来我之前是弄错了假设，现在明白了！谢谢天添老师！
